✅ Descubrí el secreto para transformar decimales periódicos a fracción fácilmente con ejercicios prácticos y resultados sorprendentes.
Convertir un decimal periódico a fracción es un proceso matemático que permite transformar una cifra decimal que se repite infinitamente en una fracción exacta de números enteros. Este tipo de conversión es útil para simplificar cálculos y comprender mejor la representación numérica. A continuación, explicaremos paso a paso cómo realizar esta conversión y luego aplicaremos la técnica en ejercicios prácticos para que puedas dominar el método.
El procedimiento para convertir un decimal periódico a fracción se basa en establecer una ecuación que iguala al número decimal, multiplicar por potencias de 10 para eliminar la parte decimal periódica y luego restar para despejar la fracción. Para facilitar la comprensión, desarrollaremos la teoría detrás del método y luego te mostraremos ejemplos con decimales periódicos simples y mixtos, incluyendo casos con una y varias cifras que se repiten.
Pasos para convertir un decimal periódico a fracción
- Definir el número decimal periódico: Por ejemplo, 0,7777… donde el número 7 se repite infinitamente.
- Asignar una variable a este número decimal: Sea x = 0,7777…
- Multiplicar por una potencia de 10 para mover la coma justo antes del periodo repetido. En el caso de 0,7777…, multiplicamos por 10, ya que solo un número se repite: 10x = 7,7777…
- Restar la ecuación original de la multiplicada: 10x – x = 7,7777… – 0,7777… que da 9x = 7
- Despejar x: x = 7/9, que es la fracción equivalente.
Ejemplo 1: Decimal periódico simple
Convertir 0,3333… a fracción.
- Sea x = 0,3333…
- Multiplicamos por 10: 10x = 3,3333…
- Restamos: 10x – x = 3,3333… – 0,3333… = 3
- Obtenemos: 9x = 3
- Por lo tanto, x = 3/9 = 1/3
Ejemplo 2: Decimal periódico mixto
Convertir 0,1666… donde solo el 6 se repite.
- Sea x = 0,1666…
- Multiplicamos por 10 (cantidad de cifras antes del periodo): 10x = 1,6666…
- Multiplicamos por 100 (número de cifras antes y durante el periodo): 100x = 16,6666…
- Restamos las dos multiplicaciones: 100x – 10x = 16,6666… – 1,6666… = 15
- Esto da: 90x = 15
- Despejamos: x = 15/90 = 1/6
Tabla resumen para conversión decimal periódico a fracción
| Decimal Periódico | Pasos de Multiplicación | Fracción Resultante |
|---|---|---|
| 0,4444… | Multiplicar por 10 y restar | 4/9 |
| 0,727272… | Multiplicar por 100 y restar | 8/11 |
| 0,08333… | Multiplicar por 1000 y luego 10 y restar | 5/60 = 1/12 |
Con esta metodología y ejemplos, podrás convertir cualquier decimal periódico a fracción de forma sencilla y clara. Continúa leyendo para descubrir más ejercicios prácticos y casos especiales que te ayudarán a dominar esta técnica.
Paso a paso detallado para transformar decimales periódicos en fracciones simples
Transformar un decimal periódico en una fracción simple puede parecer complicado al principio, pero con un proceso claro y metódico, se vuelve una tarea sencilla. A continuación, te mostramos un paso a paso detallado para que puedas dominar esta técnica y aplicarla en cualquier ejercicio.
¿Qué es un decimal periódico?
Un decimal periódico es aquel que tiene una o varias cifras que se repiten infinitamente. Por ejemplo:
- 0,3333… donde el número 3 se repite infinitamente, llamado período simple.
- 0,142857142857… donde la secuencia 142857 se repite, conocido como período compuesto.
Entender esta característica es clave para transformar correctamente el número en una fracción.
Pasos para convertir un decimal periódico en fracción
- Identificar el período y la parte no periódica (si la hay). Por ejemplo, en 0,166, el 6 es el período y el 1 es la parte no periódica.
- Asignar una variable a la expresión decimal. Por ejemplo, x = 0,1666…
- Multiplicar la variable por una potencia de 10 para mover el punto decimal justo después del período:
- Si el período tiene n cifras, multiplicar por 10n.
- Ejemplo: para 0,1666…, donde el período es 1 cifra (6), multiplicar por 10 → 10x = 1,666…
- Multiplicar nuevamente para eliminar la parte periódica si existe una parte no periódica:
- En el caso de 0,1666…, multiplicamos por 10 para que el período quede alineado y luego por 100 (102) para eliminar la parte no periódica.
- Restar las dos ecuaciones para eliminar el decimal periódico y despejar x.
- Simplificar la fracción resultante para obtener la forma más simple.
Ejemplo práctico 1: Convertir 0,3333… en fracción
- Definir: x = 0,3333…
- Multiplicar por 10 (mover el decimal una posición): 10x = 3,3333…
- Restar para eliminar el decimal periódico: 10x – x = 3,3333… – 0,3333… → 9x = 3
- Despejar x: x = 3 / 9
- Simplificar: 3/9 = 1/3
Por lo tanto, 0,3333… = 1/3.
Ejemplo práctico 2: Convertir 0,142857142857… en fracción
- Definir: x = 0,142857142857…
- El período tiene 6 cifras, multiplicar por 106: 1.000.000x = 142857,142857…
- Restar para eliminar el decimal periódico: 1.000.000x – x = 142857,142857… – 0,142857…
- Esto da: 999.999x = 142857
- Despejar x: x = 142857 / 999.999
- Simplificar: x = 1/7
Dato interesante: la fracción 1/7 tiene un período de 6 cifras, justamente el 142857, muy conocido por sus propiedades matemáticas fascinantes.
Consejos prácticos para convertir decimales periódicos a fracciones
- Identifica claramente el período y la parte no periódica antes de empezar.
- Practica con números que tengan períodos simples y compuestos para entender la diferencia.
- Utiliza la herramienta de multiplicación por potencias de 10 para desplazar el decimal y alinear el período.
- Revisa siempre que la fracción esté simplificada para presentar el resultado más claro.
Comparación de ejemplos comunes
| Decimal periódico | Período | Fracción | Comentarios |
|---|---|---|---|
| 0,6666… | 6 (1 cifra) | 2/3 | Período simple, fracción frecuente en problemas cotidianos. |
| 0,121212… | 12 (2 cifras) | 4/33 | Período compuesto, representa números racionales menos comunes. |
| 0,090909… | 09 (2 cifras) | 1/11 | Ejemplo clásico de decimal periódico con ciclo corto. |
Preguntas frecuentes
¿Qué es un decimal periódico?
Es un número decimal que tiene una o varias cifras que se repiten infinitamente en su parte decimal.
¿Cómo se identifica un decimal periódico simple?
Se reconoce porque el mismo dígito o grupo de dígitos se repite continuamente después de la coma.
¿Cuál es el método para convertir un decimal periódico a fracción?
Se usa una fórmula basada en restar el número original menos su parte no periódica y luego dividir por una potencia de 10 ajustada.
¿Se puede convertir cualquier decimal periódico en fracción?
Sí, todos los decimales periódicos son números racionales y pueden expresarse como fracciones exactas.
¿Por qué es útil convertir decimales periódicos a fracciones?
Porque permite trabajar con números exactos en lugar de aproximaciones decimales infinitas.
| Tipo de decimal periódico | Ejemplo | Paso 1 | Paso 2 | Paso 3 | Resultado final |
|---|---|---|---|---|---|
| Periódico simple | 0,7777… | Sea x = 0,7777… | 10x = 7,7777… | 10x – x = 7,7777… – 0,7777… = 7 | x = 7/9 |
| Periódico compuesto | 0,583333… | Sea x = 0,583333… | Multiplicar por potencia de 10 para quitar parte no periódica (1000x) | Restar para eliminar decimal periódico: 1000x – 10x | x = 7/12 |
| Periódico mixto | 0,1232323… | Sea x = 0,1232323… | Multiplicar para separar parte no periódica y periódica (1000x y 10x) | Restar ambas expresiones | x = 122/990 |
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